Soal dan Pembahasan Matematika Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (1-5)

1. Diketahui (f o g)(x) = x + 1 dan f(x-2) = (x – 1)/(x – 2). Maka nilai dari g-‘ (2) [dibaca: g invers 2] adalah…

Penyelesaian:

f(x – 2) = (x – 1)/(x – 2)

Inverskan x-2 agar ditemukan nilai dari f(x)

y = x – 2

x = y + 2   <—-> y = x + 2 maka:

f(x) = [(x + 2) – 1]/[(x + 2) – 2]

f(x) = (x + 1)/x

(f o g)(x) = f(g(x))

f(g(x)) = x + 1

[g(x) + 1]/g(x) = x + 1

g(x) + 1 = (x + 1). g(x)

g(x) + 1 = x.g(x) + g(x)

g(x) – x.g(x) -g(x) = -1

-x.g(x) = -1

g(x) = 1/x

g(x) = 1/x

y = 1/x

x = 1/y, maka:

g-‘(x) = 1/x

Jadi, nilai dari g-‘(2) adalah = 1/x = 1/2.

2. Diketahui f(3 + 2x) = 4 – 2x + x². maka f(x) = ….?

Penyelesaian:

Jadi f(x) = 1/4 x² – 10/4x + 37/4

3. Diketahui f(x) = x³ + 4 dan g(x) = 2sinx. Nilai dari (f o g)(-90) adalah…

Penyelesaian:

(f o g)(x) = f(g(x))

= (g(x))³ + 4

= (2sinx)³ + 4

= 8sin³x + 4

Jadi, ( f o g) (-90) adalah

= 8sin³(-90) + 4

= 8.(-1) + 4

= -8 + 4 = -4.

4. Diketahui g(x) = (x² + 2x – 3)/4. Maka g-‘(x) adalah…

Penyelesaian:

Perhatikan penyebutnya, untuk mencari invers sebuah fungsi kuadrat, salah satu caranya adalah mengubah persamaan umum kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Maka:

= x² + 2x – 3

= x² + 2x  + 1 – 1 – 3

= (x + 1)² – 4

Jadi,

g(x) = (x² + 2x – 3)/4

g(x) = [(x + 1)² – 4]/4

y = [(x + 1)² – 4]/4

4y = [(x + 1)² – 4]

(x + 1)² = 4y + 4

(x + 1)² = 4(y + 1)

x + 1 = √4(y + 1)

x + 1 = ±2 √(y + 1)

x = -1 ±2 √(y + 1)

g-‘(x) = -1 ±2 √(x + 1)

5. Diketahui g(x) = px + q dan (g o g)(x) = 16x – 15 maka nilai p dan q adalah…

Penyelesaian:

(g o g)(x) = g(g(x))

16x – 15 = p(g(x)) + q

16x – 15 = p(px + q) + q

16x – 15 = p²x + pq + q

Cocokkan sesuai dengan variabel/konstantanya.

16x = p²x dan -15 = pq + q

Kemudian mencari nilai p dan q nya.

16x = p²x

16 = p²

p = √16 ——> p = ± 4.

Jika p = 4 maka q =

-15 = 4q + q

-15 = q(4 + 1)

q = -15/5 = -3

Jika p =  -4 maka q =

-15 = -4q + q

-15 = q(-4 + 1)

q = -15/-3 = 5

Jadi, nilai p dan q adalah (4 dan -3) atau (-4 dan 5).

*Semoga Bermanfaat*