Home » Matematika » Kelas XI IPA Matematika

Category Archives: Kelas XI IPA Matematika

Tulisan Per Bulan

Kategorinya

Twitter Kita

Error: Twitter did not respond. Please wait a few minutes and refresh this page.

Soal dan Pembahasan Matematika Suku Banyak (1-5)

Suku Banyak atau Polinom adalah suatu fungsi dimana memiliki satu variabel/peubah dan variabel/peubah tersebut memiliki derajat pangkat lebih dari 2.

Dalam Suku Banyak, konsep yang mesti dipahami adalah:

  • Bagaimana membagi Suku Banyak dengan Pembagi yang akan menghasilkan Hasil Bagi dan Sisa.
  • Teorema Sisa, yakni mencari sisa pembagian Suku Banyak dengan beragam bentuk Pembagi.
  • Teorema Faktor, yakni nilai variabel yang akan menghasilkan nol pada Suku Banyak.
  • Hubungan akar-akar Suku Banyak tersebut.

Berikut ini ada 5 pembahasan soal yang mencakup semua konsep dalam Suku Banyak.

1. Jika x^3 + ax + b habis dibagi x^2 + x + 1, maka nilai a dan b adalah…

Penyelesaian:sb1

2. Suku banyak f(x) = x^4 – 3x^3 – 5x^2 + x – 6 dibagi (x – 2)(x + 1) bersisa…

Penyelesaian:sb2

3. Diketahui suku banyak f(x) = ax^2013 + bx^2011 – 2012, dengan a dan b konstanta tertentu. Jika f(x) dibagi (x – 2012) bersisa 2012, maka f(x) dibagi (x + 2012) bersisa…

Penyelesaian:sb3

4. Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Sedangkan suku banyak g(x) dibagi (x + 1) bersisa -9 dan dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x)=f(x).g(x), maka sisa suku banyak h(x) dibagi x^2 – 2x – 3 adalah…

Penyelesaian:sb4sb44

5. Diketahui (x – 1) dan (x – 2) adalah faktor-faktor dari suku banyak f(x) = x^3 + ax^2 – 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2 dan x3, untuk x1 > x2 > x3, maka x1 – x2 – x3 adalah…

Penyelesaian:sb5sb55

*Semoga Bermanfaat*

Advertisements

Soal dan Pembahasan Statistika Dasar (1-2)

Yang akan kami bahas di sini adalah mencari rata-rata (mean) dan jangkauan baru dari sebuah data lama yang telah mengalami revisi beraturan. Serta membahas aturan-aturan dasar pembuatan tabel distribusi frekuensi.

  • Mencari mean dan jangkauan baru.

Mean = (jumlah data)/(banyak data)

Jangkauan = Data Tertinggi – Data Terendah

1. Sekelompok data memiliki rata-rata 35 dan jangkauan 7.  Jika setiap data dikalikan dengan P kemudian hasilnya dikurangi dengan Q, ternyata menghasilkan rata-rata baru 42 dan jangkauan baru 9. Maka nilai dari &P – Q adalah…

Penyelesaian:Statistika

  • Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi.

2.

statistika2Penyelesaian:statistika22

*Semoga Bermanfaat*

 

 

Soal dan Pembahasan Matematika Permutasi (1-4)

Sebelum membahas soal yang berhubungan dengan Permutasi, ada baiknya kita menjabarkan terlebih dahulu perbedaan mendasar antara Permutasi dengan Kombinasi.

  • Permutasi adalah banyaknya susunan dari beberapa unsur dengan mementingkan urutan.
  • Kombinasi adalah banyaknya susunan dari beberapa unsur dengan tidak mementingkan urutan.

Contoh:

Banyaknya cara menyusun huruf P Q dan R adalah…

Permutasi: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ dan RQP = 6 cara

Kombinasi: 1 cara karena kombinasi tidak mementingkan urutan sehingga diputar bagaimanapun huruf P Q dan R, tetap dianggap sama.

Rumus umum Permutasi:

permutasi21. Panitia sekolah berencana membuat nomor ujian yang terdiri dari empat angka dimana angka-angka yang akan digunakan hanya 1, 2, 3, 4 dan 5. Panitia memutuskan bahwa tidak boleh ada angka yang terulang dalam nomor ujian tersebut. Dan kemudian disepakati pula bahwa nomor ujian tidak boleh diawali dengan angka 1. Maka banyaknya nomor ujian yang berhasil dibuat adalah…

Penyelesaian:permutasi1

2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dibentuk bilangan dari tiga angka berlainan. Tentukan banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 3 ?

Penyelesaian:

Bilangan kelipatan tiga dari susunan beberapa angka dapat diidentifikasi ketika susunan angka itu dijumlahkan, hasilnya adalah kelipatan tiga.

permutasi2

3. Nilai n dari (n+1)P3 = nP4 adalah…

Penyelesaian:Permutasi4

4. Nilai n dari nP5 = 10  nP4 adalah…

Penyelesaian:Permutasi3

Lihat Pula:

Soal dan Pembahasan Permutasi, Kombinasi dan Peluang (1-6)

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri (1-5)

1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…

Penyelesaian:

  • Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:

sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).

  • Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:

sin²α + cos²α = 1

Jadi,

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2   ——-> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

 

2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah…

Penyelesaian:

  • Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada soal nomor 1).

sin(x + α) = cos (x + α)

sin(x + α) = sin (90 – (x + α))

  • Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.
  • Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya

Jadi,

sin(x-600)° = cos(x-450)°

sin(x-600)° = sin(90 – (x-450))°

sin(x-600)° = sin(540 – x)°

x – 600° = 540° – x

2x = 540° + 600°

x = 1140°/2 = 570°

 

tan x = tan 570°

= tan (360 + 210)° = tan 210°

= tan (180 + 30)° —–> Kuadran III

= tan 30° = 1/3 √3

(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).

 

3. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…

Penyelesaian:

Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:

sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.

Jadi,

sinx + cosx = -1/5

(sinx + cosx)² = (-1/5)² —–> (Kuadratkan kedua ruas.)

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25

sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 —–> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2sinxcosx = 1/25 – 1

2sinxcosx = 1/25 – 25/25

2sinxcosx = -24/25

sin2x = -24/25

(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

 

4. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα – 1/cosα adalah…

Penyelesaian:

  • Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya.
  • Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1

Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Morsmordre1645Jadi, nilai dari 1/sinα – 1/cosα adalah 1 7/8.

5. Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…

Penyelesaian:

  • Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.
  • Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau

cos2α = 2cos²α – 1 atau

cos2α = 1 – 2sin²α

  • Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.

Jadi,

cos2x – 3sinx – 1 = 0

cos2x – 3sinx = 1

(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1

(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx).

(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1

-2sin²x – 3sinx = 1 – 1

-2sin²x – 3sinx = 0

sinx(-2sinx – 3) = 0

sinx = 0 atau -2sinx – 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

x = 0°

(sinx = -3/2 tidak memenuhi)

maka nilai tan x = tan 0° = 0

 *Ada Banyak Cara dalam Menyelesaikan Sebuah Soal Matematika*

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi dan Aplikasinya (1-5)

1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = (2-6x)³ adalah?

Penyelesaian:

Fungsi pada soal berbentuk fungsi lain yang eksponensial. Untuk menentukan turunannya, digunakanlah aturan rantai.

Jika f(x) = (u(x))ⁿ maka f ‘ (x) = n.(u(x))ⁿ-1 . (u ‘ (x))

Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Morsmordre1267Jadi, turunan pertama dari f(x) = (2-6x)³ adalah f ‘ (x) = -18(2-6x)² atau

f ‘ (x) = -18(4-24x+36x²)

 

2. Turunan pertama dari fungsi trigonometri f(x) = 5sinxcosx adalah?

Penyelesaian:

  • Fungsi diatas berbentuk fungsi perkalian jadi untuk menentukan turunannya, digunakanlah aturan perkalian.

Jika f(x) = u(x).v(x)

Maka f ‘ (x) = u ‘ (x). v(x) + u(x).v ‘ (x)

  • Untuk fungsi trigonometri, turunan sinx adalah cosx dan turunan cosx adalah -sinx.

Lebih lengkapnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Morsmordre1294Jadi turunan f(x) 5sinxcosx adalah f ‘ (x) = 5(cos²x – sin²x)

atau f ‘ (x) = 5cos2x

 

3. Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi f(x) = 8x² – 120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam f(x) = 1/3 x² – 10x + 200. x menyatakan jumlah barang. Maka, untuk mencapai keuntungan maksimum, jumlah barang yang harus diproduksi adalah sebanyak…

Penyelesaian:

Biaya Produksi = 8x² – 120x

Harga Jual tiap barang = 1/3 x² – 10x + 200

Keuntungan = Harga Jual semua Barang  – Biaya Produksi

= (Jumlah Barang dikali Harga Jual tiap Barang) – Biaya Produksi

= x.(1/3 x² – 10x + 200) – (8x² – 120x)

= (1/3 x³ – 10x² + 200x) – (8x² – 120x)

= 1/3 x³ – 18x² + 320x

Untuk mencapai keuntungan maksimum, maka nilai stationernya = 0

f ‘ (x) = 0

x² -36x + 320 = 0

(x -16)(x – 20) = 0

x = 16 atau x = 20.

Jadi, jumlah barang yang harus dijual adalah 16 atau 20 buah.

 

4. Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi f(x) = 3x + 1200/x – 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi selama x hari agar diperoleh biaya minimum?

Penyelesaian:

Biaya Proyek per hari = 3x + 1200/x – 60

Biaya Proyek per x hari = (3x + 1200/x – 60)/x

= 3 + 1200/x² – 60/x

= 3x² – 60x + 1200

Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f ‘ (x) = 0.

f ‘ (x) = 0

6x – 60 = 0

6x = 60

x = 10 hari.

Biaya minimum per hari

= 3x + 1200/x – 60

= 3(10) + 1200/10 -60

= 30 + 120 – 60

= 90 juta rupiah

Maka total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah

= 90 juta rupiah x 10 hari

= 900 juta rupiah.

 

5. Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas menjadi 3 bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar. Jika θ menyatakan besar sudut dnding talang dengan bidang alasnya, maka volume air yang tertampung paling banyak bila θ …

trPenyelesaian:

Lipatan seng berbentuk trapesium.

Untuk mencapai volume air maksimum, maka nilai stationer dari luas trapesium = 0.

Pembahasannya ada pada gambar di bawah ini.

Morsmordre1339Jadi untuk mencapai volume maksimum, besar sudut θ = 60°.

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Menggambar Grafik Trigonometri (1-2)

1. Gambarkan grafik fungsi trigonometri y=2sinx° + 1 ?

Penyelesaian:

  • Subtitusikan sembarang sudut-sudut istimewa ke x dengan kisaran sudut dari 0° sampai 360°, sehingga didapat nilai y nya.
  • Agar lebih muda di gambar, gunakan sudut-sudut istimewa yang akan disubtitusikan ke x, yang menghasilkan bilangan bulat untuk nilai y nya. Karena seperti yang kita tahu, ada beberapa sudut yang menghasilkan nilai sinus atau cosinus dalam bentuk akar.
  • Untuk sudut-sudut istimewa yang lebih dari 90°, gunakan aturan rumus kuadran. 

Contoh: Subtitusi nilai x = 150° ke persamaan y = 2 sinx° + 1

y = 2 sin(150°) + 1

y = 2 sin(180-30)° + 1

y = 2 sin 30° + 1          (kuadran II).

y = 2 (1/2) + 1 = 2.

  • Kemudian gambarlah grafiknya dengan sumbu x adalah urutan sudut-sudut istimewa. Dan sumbu y adalah urutan dari nilai sinus/cosinus/tangen dari persamaan.

Morsmordre1353Grafik sinus yang berbentuk gelombang transversal sering disebut grafik sinusoida.

2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri y = cos (x+60)° ?

Penyelesaian:

Ikuti langkah-langkah seperti soal yang pertama hingga diperoleh grafik seperti di bawah ini:

Morsmordre1352

*Semoga Bermanfaat*

JARAK

1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm, titik P terletak di tengah – tengah GH, lukis dan hitung jarak titik B ke bidang EDP

Jawab:

Yang dimaksud dengan jarak dari titik ke bidang, adalah proyeksi tegak lurus dari titik ke bidang tersebut.

Cara 1:
BH tegak lurus dengan DEG, apabila titik G dipindahkan menuju ke titik H maka B tegak lurus bidang juga akan berpindah. Apabila G sudah dipindahkan ke H, maka BA tegak lurus bidang. Jadi, selama G berpindah ke H maka B tegak lurus bidang juga akan berpindah dari H ke A. Pada saat G berpindah ke P (tengah GH), maka garis yg tegak lurus bidang adalah dari P ke tengah HA (pusat ADHE)

Kita tinggal mencari jarak dari B ke pusat ADHE. Apabila kita lihat pada bidang ABGH maka terlihat:
Jarak² = 10² + (5√2)²
Jarak = 5√6

Cara 2:

Kita akan mencari garis yang tegak lurus dengan DEP dan menarik sejajar dengan garis itu melalui B. Syarat garis tegak lurus bidang adalah garis itu harus tegak lurus dengan 2 garis yg saling berpotongan di bidang. Kalau kita lihat di segitiga misalnya tegak lurus PD dan PE. Mudah untuk mencari garis tegak lurus salah satu saja, tapi untuk tegak lurus kedua garis itu tidak mudah. Terutama apabila garis yang berpotongan tidak saling tegak lurus. Maka kita coba cari garis yang berpotongan tegak lurus pada segitiga DEP. Perhatikan bahwa DEP adalah segitiga sama kaki dengan PD = PE, maka dalam segitiga DEP kita dapat mengetahui posisi garis PO. O berada di pusat ADHE. Adalah mudah mencari garis yang tegak lurus PO, akan tetapi tujuan kita sekarang adalah mencari garis tegak lurus PO dan sekaligus tegak lurus DE pula. Apabila kita lihat segitiga BDE maka akan terlihat BO tegak lurus DE. Pertanyaan berikutnya apakah BO tegak lurus PO? Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapatkan BP² = BO² + OP². Dengan demikian BO tegak lurus OP, dan BO adalah jarak dari titik B ke segitiga DEP = 5√6

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. M tengah2 CG, N tengah2 BC. P adalah perpotongan BM dan GN, hitunglah jarak dari P ke BH!

Jawab:

Dari phytagoras:
BM = ½√5
P adalah titik berat segitiga BCG, sehingga BP = 1/3√5 dan PM = 1/6√5
Pada segitiga BMH gunakan dalil steward
HP².BM = BH².PM + HM².BP – BP.PM.BM
Sehingga PH² = 14/9
Pada segitiga BHP gunakan teorema phytagoras atau dalil proyeksi di dapat jarak = ⅓√2

3. Diketahui kubus ABCDEFGH. AB = 1. O pusat EFGH. Hitung jarak DO ke BE.

%d bloggers like this: